Вычисление собственных значений  и сингулярных чисел разреженных матриц

Применение функции eigs решает проблему собственных значений, состоящую в нахождении нетривиальных решений системы уравнений, которая может быть интерпретирована как алгебраический эквивалент системы обыкновенных дифференциальных уравнений в явной форме Коши: A*v=l*v.[ Усовершенствованный алгоритм eig позволяет использовать eig для расчета собственных значений и полных, и разреженных матриц, но для получения собственных векторов разреженных матриц по-прежнему желательно использовать именно eigs. — Примеч. ред. ] Вычисляются только отдельные выбранные собственные значения или собственные значения и собственные векторы:

• eigs(A.B) решает проблему обобщенных собственных значений A*V = В* V*D. В должна быть симметрической (или эрмитовой) положительно определенной квадратной матрицей того же размера, что и A. eigs С А, []....) решает стандартную проблему собственных значений A*V = V*D.

• [V,D] = eigs(A) или [V.O] = eigs('Afun',n) — возвращает собственные значения для первого входного аргумента — большой и разреженной квадратной матрицы размера п. Этот параметр может быть как квадратной матрицей, так и строкой, содержащей имя m-файла, который применяет линейный оператор к столбцам данной матрицы. Матрица А — действительная и несимметрическая. Y=Afun(X) должна возвращать Y=A*X.

В случае одного выходного параметра D — вектор, содержащий 6 самых больших собственных значений матрицы А. В случае двух выходных аргументов [V.D] = eigs(A) D — диагональная матрица размера 6x6, содержащая эти 6 самых больших собственных значений, и V — матрица, содержащая б столбцов, являющихся соответствующими собственными векторами. [V.D.flag] = eigs(A) возвращает флаг, равный 0, если все возвращенные собственные значения сходятся, и 1 в противном случае.

1. eigs(A.K) и eigs(A,B,K) возвращают не 6, а К самых больших собственных значений. eigs(A,K,sigma) Heigs(A,B,K.sigma) возвращают не 6, а К собственных значений, выбранных в зависимости от значения параметра sigma;

2. 'lm' — самые большие (как и по умолчанию) по абсолютной величине;

3. ' sm' — самые малые по абсолютной величине;

4. ' l а' и ' sa' — соответственно самые большие и самые малые алгебраически собственные значения для действительных симметрических матриц;

5. 'be' — для действительных симметрических матриц возвращает и самые большие, и самые малые алгебраически собственные значения поровну, но если К нечетное, то самых больших значений на 1 больше, чем самых малых;

6. 'lr' и 'sr' — для несимметрических и комплексных матриц возвращают соответственно собственные значения с самыми большими и самыми малыми действительными частями;

7. '1i' и 'si'— для несимметрических и комплексных матриц возвращают соответственно собственные значения с самыми большими и самыми малыми мнимыми частями;

8. скаляр - ближайшие к величине slgma. В этом случае матрица В может быть только симметрической (или эрмитовой) положительно полуопределенной, а функция Y = AFUN(X) должна возвращать Y = (A-SIGMA*B)\X.

• eigs(A,K,SIGMA,OPTS) и eigs(A,B,K,SIGMA.OPTS) имеют параметры в полях структуры OPTS (в фигурных скобках { } — значения по умолчанию):

1. OPTS.issym: симметрия А или A-SIGMA*B, представленной AFUN [{0} | 1];

2. OPTS.isreal: комплексные А или A-SIGMA*B, представленной AFUN [0 | {1}];

3. OPTS.tol: сходимость: аbs(с1_вычисленное-с1_действительное) < tоl*аbs(с1_вычисленное) [скаляр){eps}];

4. OPTS.maxit: наибольшее число итераций [положительное целое | {300}];

5. OPTS.р: число векторов Ланцо (Lanczos): K+l<p<=N [положительное целое | {2К}];

6. OPTS.v0: начальный вектор [вектор размера N| {произвольно выбирается библиотекой ARPACK}];

7. OPTS.disp: уровень вывода диагностической информации [0 | {1} | 2J;

8. OPTS.cholВ: В — это множитель Холецкого chol (В) [{0} | 1];

9. OPTS.permB: разреженная матрица В равна chol (B(perm(B) .perm(B)) [perm(B) | {1:N}], perm — перестановка.

• eigs(AFUN.N.К,SIGMA,OPTS,PI,...) иeigsCAFUN.N,В.К.SIGMA.OPTS,PI....) предоставляют дополнительные аргументы Р, которые поступают в AFUN(X,P1....).

Функция svds служит для вычисления небольшого числа сингулярных чисел и векторов большой разреженной матрицы. По мере возможности старайтесь использовать svd(fulKA)) вместо svds(A). Если А прямоугольная матрица mxn, svds(A....) манипулирует с несколькими собственными значениями и собственными векторами, возвращенными EIGS(B,...), где В = [SPARSE(М.М) A: A' SPARSE(N.N)]. Положительные собственные значения симметрической матрицы В равны сингулярным числам А.

• svds (А) возвращает 6 самых больших сингулярных чисел А;

• svds (А,К) или svds(A,K.'L') возвращает К самых больших сингулярных чисел;

• S = SVDSCA,К,SIGMA,OPTIONS) устанавливает параметры:

  • OPTIONS.tol — порог чувствительности (по умолчанию le-10), norm(A*V-. -U*S,1) <= tol * norm(A.1);

  • OPTIONS.maxit - наибольшее число итераций (по умолчанию 300);

  • OPTIONS.disp — число значений, показываемых на каждой итерации (по умолчанию 0).

• [U.S.V] = svds(A.k) — возвращает k наибольших сингулярных чисел и соответствующих сингулярных векторов матрицы А. Если А — матрица размера mxn, то U — матрица размера mxk с ортонормальными столбцами, S — диагональная матрица размера kxk, V — матрицы размера nxk с ортонормальными столбцами;

• [U.S.V. flag] = svdsC...) — возвращает флаг, равный 0, если eigs сошлась, и 1 в противном случае;

• [U.S.V] = svds(A.k.sigma) — возвращает k сингулярных чисел, наиболее близких к скаляру sigma, и К сингулярных векторов (при sigma=0 возвращает К наименьших сингулярных чисел и К векторов);

• s = svds(A.k....) — возвращает только вектор сингулярных чисел.

Как видно из приведенного материала, система MATLAB предлагает пользователям уникальный набор матричных операторов и функций, заметно более полный, чем у других математических систем. Это открывает широчайшие возможности в решении всех видов математических задач, в которых используются современные матричные методы.