7.2.3. Частные производные
С помощью обоих процессоров MathCAD можно вычислять производные функций любого количества аргументов. В этом случае, как известно, производные по разным аргументам называются частными. Чтобы вычислить частную производную, необходимо, как обычно, ввести оператор производной с панели Calculus (Вычисления) и в соответствующем местозаполнителе напечатать имя переменной, по которой должно быть осуществлено дифференцирование. Пример приведен в листинге 7.16, в первой строке которого определена функция двух переменных, а в двух следующих строках символьным образом вычислены ее частные производные по обеим переменным - х и у - соответственно. Чтобы определить частную производную численным методом, необходимо предварительно задать значения всех аргументов, что и сделано в следующих двух строках листинга. Последнее выражение в листинге снова (как и в третьей строке) определяет символьно частную производную по у. Но, поскольку переменным х и у уже присвоено конкретное значение, то в результате получается число, а не аналитическое выражение.
Листинг 7.16. Символьное и численное вычисление частных производных
![Листинг 7.16](pic/l7.16.jpg)
Частные производные высших порядков рассчитываются точно так же, как и обычные производные высших порядков (см. разд. 7.2.2). Листинг 7.17 иллюстрирует расчет вторых производных функции из предыдущего примера по переменным х, у и смешанной производной.
Листинг 7.17. Вычисление второй частной производной
![Листинг 7.17](pic/l7.17.jpg)
Возможно, вы обратили внимание, что в обоих листингах 7.16 и 7.17 оператор дифференцирования записан в форме частной производной. Подобно тому, как существует возможность выбирать вид, например, оператора присваивания, можно записывать операторы дифференцирования в виде обычной или частной производной. Запись оператора не влияет на вычисления, а служит лишь более привычной формой представления расчетов. Для того чтобы изменить вид оператора дифференцирования на представление частной производной, следует:
1. Вызвать контекстное меню из области оператора дифференцирования нажатием правой кнопки мыши.
2. Выбрать в контекстном меню верхний пункт View Derivative As (Показывать производную как).
3. В появившемся подменю (рис. 7.5) выбрать пункт Partial Derivative (Частная производная).
![Рисунок 7.5](pic/7.5.jpg)
Рис. 7.5. Изменение вида оператора дифференцирования
Чтобы вернуть вид производной, принятый по умолчанию, выберите в подменю пункт Default (По умолчанию) либо, для представления ее в обычном виде - Derivative (Производная).
Завершим разговор о частных производных двумя примерами, которые нередко встречаются в вычислительной практике. Программная реализация первого из них, посвященная вычислению градиента функции двух переменных, приведена в листинге 7.18. В качестве примера взята функция f(x,y), определяемая в первой строке листинга, график которой показан в виде линий уровня на рис. 7.6. Как известно, градиент функции f (х,у) является векторной функцией тех же аргументов, что и f (x,y), определенной через ее частные производные, согласно второй строке листинга 7.18. В оставшейся части этого листинга задаются ранжированные переменные и матрице необходимые для подготовки графиков функции и ее градиента.
Листинг 7.18. Вычисление градиента
![Листинг 7.18](pic/l7.18.jpg)
Векторное поле рассчитанного градиента функции f(x,y) показано на рис. 7.7. Как можно убедиться, сравнив рис. 7.6 и 7.7, математический смысл градиента состоит в задании в каждой точке (х,у) направления на плоскости, в котором функция f (х,у) растет наиболее быстро.
![Рисунок 7.6](pic/7.6.jpg)
Рис. 7.6. График линий уровня функции f(x,y) (листинг 7.18)
![Рисунок 7.7](pic/7.7.jpg)
Рис. 7.7. Векторное поле градиента функции f (х,у) (листинг 7.18)
До сих пор в данной главе мы рассматривали скалярные функции, к которым, собственно, и можно применять операторы дифференцирования. Часто приходится иметь дело с вычислением производных векторных функций. Например, в различных областях математики (см. разд. "Жесткие системы ОДУ" гл. 11) мы сталкиваемся с проблемой вычисления якобиана (или матрицы Якоби) - матрицы, составленной из частных производных векторной функции по всем ее аргументам. Пример вычисления якобиана векторной функции f (х) векторного аргумента х приведен в листинге 7.19. В нем для определения частных производных якобиана каждый i-й скалярный компонент f (x)i дифференцируется символьным процессором MathCAD.
Тот же самый якобиан можно вычислить и несколько по-другому, если определить функцию не одного векторного, а трех скалярных аргументов f(x,y,z) (ЛИСТИНГ 7.20).
Листинг 7.19. Вычисление якобиана векторной функции векторного аргумента
![Листинг 7.19](pic/l7.19.jpg)
Листинг 7.20. Вычисление якобиана векторной функции трех скалярных аргументов
![Листинг 7.20](pic/l7.20.jpg)
Не забывайте, что для численного определения якобиана необходимо сначала определить точку, в которой он будет рассчитываться, т. е. вектор х в терминах листинга 7.19, или все три переменных x,y,z в обозначениях листинга 7.20.
Глава 6
Содержание
Глава 8