5.1. Функция распределения

     В качестве основной функции, применяемой при статистическом методе описания, выступает функция распределения, которая определяет статистические характеристики рассматриваемой системы. Знание её изменения с течением времени позволяет описывать поведение системы со временем. Функция распределения дает возможность рассчитывать все наблюдаемые термодинамические параметры системы.

     Для введения понятия функции распределения сначала рассмотрим какую-либо макроскопическую систему, состояние которой описывается некоторым параметром , принимающим дискретных значений: , , ,..., . Пусть при проведении над системой измерений были получены следующие результаты: значение наблюдалось при измерениях, значение наблюдалось соответственно при измерениях и т.д. При этом, очевидно, что общее число измерений равняется сумме всех измерений , в которых были получены значения : .

     Увеличение числа проведенных экспериментов до бесконечности приводит к стремлению отношения к пределу

     Величина называется вероятностью измерения значения .

     Вероятность представляет собой величину, которая может принимать значения в интервале . Значение соответствует случаю, когда ни при одном измерении не наблюдается значение и, следовательно, система не может иметь состояние, характеризующееся параметром . Соответственно вероятность возможна только, если при всех измерениях наблюдалось только значение . В этом случае, система находится в детерминированном состоянии с параметром .

     Сумма вероятностей нахождения системы во всех состояниях с параметрами равна единице:

     Условие (5.2) указывает на достаточно очевидный факт, что если набор возможных дискретных значений , , является полным (то есть включает все возможные значения параметра в соответствии с условиями физической задачи), то при любых измерениях параметра должны наблюдаться значения этого параметра только из указанного набора .

     Рассмотренный нами случай, когда параметр, характеризующий систему, принимает набор дискретных значений не является типичным при описании макроскопических термодинамических систем. Действительно, такие параметры как температура, давление, внутренняя энергия и т.д., обычно принимают непрерывный ряд значений. Аналогично и переменные, характеризующие движение микрочастиц (координата и скорость), изменяются для систем, описываемых классической механикой, непрерывным образом.

     Поэтому рассмотрим статистическое описание, применимое для случая, когда измеренный параметр может иметь любые значения в некотором интервале . Причем, указанный интервал может быть и не ограниченным какими либо конечными значениями и . В частности параметр в принципе может изменяться от до , как, например, координаты молекулы газа для случая неограниченной среды.

     Пусть в результате измерений было установлено, что величина с вероятностью попадает в интервал значений от до . Тогда можно ввести функцию , характеризующую плотность распределения вероятностей:

     Эта функция в физике обычно называется функцией распределения.

     Функция распределения должна удовлетворять условию: , так как вероятность попадания измеренного значения в интервал от до не может быть отрицательной величиной. Вероятность того, что измеренное значение попадет в интервал равна

     Соответственно, вероятность попадания измеренного значения в весь интервал возможных значений равна единице:

     Выражение (5.5) называется условием нормировки функции распределения.

     Функция распределения позволяет определить среднее значение любой функции :

     В частности по формуле (5.6) может быть найдено среднее значение параметра :

     Если состояние системы характеризуется двумя параметрами и , то вероятность её нахождения в состоянии со значениями этих параметров в интервалах и соответственно равна

     где - двумерная функция распределения. Примером такой функции может служить совместное распределение для координат и скоростей молекул газа.

     Соответственно для бесконечно малых интервалов и вероятность можно представить в виде

     В случае статистической независимости значений параметров и друг от друга двумерная функция распределений равна произведению функций распределения и :

     Это свойство функций распределения будет нами использовано при рассмотрении распределения Максвелла-Больцмана.