6.4. Распределение Ферми-Дирака

     Перейдем к анализу статистических свойств ферми-частиц, т.е. частиц, обладающих полуцелым спином. Напомним, что ферми-частицы подчиняются принципу (запрету) Паули, согласно которому в одном и том же состоянии одновременно не может находится более одного фермиона. Таким образом, фермионы являются частицами-индивидуалистами. Рассмотрим идеальный ферми-газ, т.е систему, состоящую из невзаимодействующих фермионов.

     Как и в предыдущем параграфе решим сначала вспомогательную задачу - найдем число возможных распределений шаров по ячейкам пенала при условии, что в каждой ячейке не может находится более одного шара (рис. 6.5) . Темными кружками будем отмечать шары, находящиеся в ячейках, светлыми - отсутствие шара в ячейке. Число ячеек и число шаров должны удовлетворять условию .

     Число всевозможных перестановок черных и белых кружков по ячейкам пенала равно . При этом перестановки только черных кружков в силу тождественности частиц не приводят к новым распределениям. Число таких перестановок равно . Перестановки местами светлых кружков (пустых ячеек) тоже не дают новых распределений, их число равно . Таким образом, число различных распределений шаров по ячейкам в данном случае равно

     Для иллюстрации полученного результата рассмотрим распределение двух шаров по четырем ячейкам (рис.6.6). Число таких распределений равно

     шести. Точно такой же ответ следует из (6.44)

     Поскольку фермионы в силу запрета Паули являются частицами-индивидуалистами, то выражение (6.44) определяет число возможных распределений фермионов по ячейкам, т.е. статистический вес макросостояния системы фермионов.

     Вывод статистического распределения, которому подчиняются ферми-частицы, проводится подобно тому, как это было сделано выше для бозе-частиц. Рассмотрим шестимерное фазовое пространство с координатами . Разобьем его с помощью изоэнергетических поверхностей

     и

     на тонкие энергетические слои, так что . Пусть в пределы -го слоя попадает ячеек (каждая объемом ) и частиц. Тогда, согласно (6.44) , статистический вес подсистемы из частиц есть

     Статистический вес всей системы равен произведению статистических весов ее отдельных подсистем

     Для того, чтобы найти наиболее вероятное распределение частиц по ячейкам, нужно найти максимум статистического веса (6.45) при условии, что полное число частиц системы и полная энергия системы остаются постоянными, т.е.

     Как и в случае бозе-частиц, вместо максимума статистического веса будем искать максимум энтропии . С учетом (6.45) для энтропии системы ферми-частиц получаем следующее выражение

     Воспользуемся формулой Стирлинга , справедливой при . Поскольку и , то

     или

     где . Слагаемое в (6.46) можно в дальнейшем не учитывать, поскольку при решении задачи на экстремум энтропии варьироваться будут только числа частиц в слое , а от них не зависит.

     Для отыскания максимума энтропии (6.46) воспользуемся, как и в разделе 6.3, методом множителей Лагранжа. Рассмотрим функцию

     где и - множители Лагранжа. Приравнивая нулю частные производные этой функции по , получаем

     Отсюда следует, что

     или

     Отношение представляет собой среднее число ферми-частиц , приходящихся на одну ячейку, т.е. на одно квантовое состояние. Наиболее вероятное значение , как следует из решения задачи на экстремум, есть

     Множители Лагранжа и находятся точно также, как и в случае бозе-частиц. Используя тот же самый метод, что и в разделе 6.3 , для имеем

     Записывая в виде , где - химический потенциал, и подставляя и в (6.47) , получаем

     Освобождаясь от индекса , приходим к окончательному выражению

     Соотношение (6.48) называется распределением Ферми-Дирака. Оно определяет среднее число ферми-частиц, находящихся в квантовом состоянии с энергией .

     Обсудим следствия, вытекающие из распределения Ферми-Дирака. Прежде всего отметим, что не может быть больше единицы, поскольку числитель выражения (6.48) равен единице, а в знаменателе к единице прибавляется положительная величина - экспонента. Это означает, что в одном квантовом состоянии не может находиться более одной ферми-частицы, что согласуется с принципом Паули. Поскольку , то говорят, что распределение (6.48) определяет вероятность заполнения энергетического уровня с энергией при температуре .

     Химический потенциал для ферми-частиц может быть только положительным, т.е. . Иначе при экспонента в знаменателе в (6.48) обратилась бы в бесконечность, а числа заполнения - в нуль, чего, естественно, быть не может. Напомним, что для бозе-частиц химический потенциал отрицателен.

     Рассмотрим случай малых чисел заполнения, т.е. будем считать, что

     Это условие выполняется при или . Пренебрегая единицей по сравнению с экспонентой в знаменателе выражения (6.48) , получаем

     где . Таким образом, мы приходим к заключению, что распределение Ферми-Дирака при малых числах заполнения, или, как говорят, в случае разреженного ферми-газа, переходит в классическое распределение Больцмана. В предыдущем параграфе было показано, что в распределение Больцмана в случае малых чисел заполнения переходит и распределение Бозе-Эйнштейна. Следовательно, можно сделать вывод, что разреженные квантовые газы (и в случае бозонов, и в случае фермионов) не являются вырожденными и подчиняются классической статистике. Подчеркнем, что хотя квантовая статистика в данном случае приводит к тем же результатам, что и классическая, квантовая природа частиц газа остается неизменной.

     На рис. 6.7 приведены графики распределений Ферми-Дирака и Больцмана. При эти распределения, как уже отмечалось, совпадают. Кардинальное различие между ними наблюдается при . Классические частицы могут накапливаться в одном и том же состоянии в большом количестве. Для них тем больше, чем меньше энергия состояния . Что же касается ферми-частиц, то максимальное

     их число в одном квантовом состоянии не может превышать единицу, что согласуется с запретом Паули.

     Химический потенциал , который, как уже отмечалось, имеет размерность энергии, в случае ферми-частиц называют энергией Ферми или уровнем Ферми и обозначают . При этом распределение Ферми-Дирака (6.48) принимает вид

     Именно это выражение мы и будем использовать в дальнейшем изложении.

     Отметим, что поскольку для фермионов , то также больше нуля. В дальнейшем будет показано, что энергия Ферми является медленно меняющейся функцией температуры . Вид этой функции для электронного газа в металле рассмотрен в разделе 6.5 .

     Для того, чтобы выявить физический смысл энергии Ферми, рассмотрим зависимость распределения Ферми-Дирака от температуры. Начнем наш анализ со случая . Конечно, утверждение о том, что абсолютный нуль температур не достижим, остается в силе. Говоря о , мы будем считать, что рассматриваемая температура может быть сколь угодно близка к абсолютному нулю, т.е. . Обозначим через значение энергии Ферми при .

     Из вида распределения (6.49) следует, что в случае

     и

     Это означает, что все квантовые состояния с энергиями оказываются занятыми фермионами, а все состояния с энергиями - свободными. Таким образом, при энергия Ферми является максимальной энергией, которой могут обладать ферми-частицы.

     График зависимости от при представлен на рис. 6.8.

     Распределение Ферми-Дирака в этом случае представляет собой ступенчатую функцию единичной высоты, обрывающуюся при . Вид зависимости от энергии частиц при температурах, отличных от нуля, приведен на рис. 6.9.

     В этом случае резкий скачок от единицы до нуля становится более размытым и происходит в области энергий, шириной порядка нескольких . Чем выше температура, тем шире область, в которой меняется от единицы до нуля, и тем более плавно происходит переход от заполненных состояний к незаполненным. Отметим, что, как следует из (6.49), при любой температуре значение при равно .

     Наряду с энергией Ферми при анализе поведения ферми-частиц вводятся также импульс Ферми и скорость Ферми, определяемые соотношениями

     При это максимальные импульс и скорость, которыми может обладать ферми-частица.